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कक्षा 10 गणित (इंडिया)

कोर्स: कक्षा 10 गणित (इंडिया) > यूनिट 3

लेसन 4: रैखिक रूप में बदल जाने वाले समीकरण
गणित
कक्षा 10 गणित (इंडिया)
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म
रैखिक रूप में बदल जाने वाले समीकरण
© 2023 Khan Academyउपयोग की शर्तेंप्राइवेसी पॉलिसी कुकी नोटिस

रैखिक रूप में बदल जाने वाले समीकरण हल करना

गूगल क्लासरूम

परिचय:

अब तक हमने कई सारे दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के निकायों को हल कर लिया है। हमने प्रतिस्थापन और विलोपन जैसे विधियों के प्रयोग से ऐसे समीकरणों को हल किया है।
मगर तब क्या होता है अगर हमें समीकरणों का ऐसा युग्म दिया जाए जो रैखिक नहीं है?
देखा जाए तो यह और कठिन ही होता है। मगर कभी कभी हम उन समीकरणों के नए समुच्चयों में परिवर्तित कर देते हैं जो रैखिक होते हैं।
और फिर उन्हें हल करने की कोशिश करते हैं।
चलिए इसे समझने के लिए हम ऐसे एक प्रश्न को हल करते हैं।

प्रश्न:

एक नाव 10 घंटे में 30, start text, k, m, end text धारा-प्रतिकूल और 44, start text, k, m, end text धारा-अनुकूल जाती है। वह 13 घंटे में 40, start text, k, m, end text धारा-प्हारतिकूल और 55, start text, k, m, end text धारा-अनुकूल जा सकती है।
स्थिर पानी में नाव की निरंतर गति से चलती है और नदी की भी निरंतर गति है।
धारा-प्रतिकूल का मतलब पानी के बाहव के विरुद्ध जाना और धारा-अनुकूल का मतलब पाने के बहाव के साथ जाना।
स्थिर पानी में नाव की गति ज्ञात करें।

रणनीति:

हमें दो परिस्थितियाँ दी गई हैं जहाँ नाव कुछ देर धारा-प्रतिकूल और कुछ देर धारा-अनुकूल जाती है। नाव के द्वारा तय की गई कुल दूरी और कुल समय हमें ज्ञात है।
हमें जो नहीं पता है वह start color #11accd, start text, न, द, ी, end text, end color #11accd की गति और start color #1fab54, start text, स, ्, थ, ि, र, space, प, ा, न, ी, space, म, े, ं, space, न, ा, व, end text, end color #1fab54 की गति है। यह हमारी अज्ञात चर हैं।
दोनों परिस्थितियों का प्रयोग करके हम दोनों अज्ञातों की मदद से दो समीकरण बना सकते हैं।
एक बार हमारे पास समीकरण होंगें, हम उन्हें हल करने की कोशिश कर सकते हैं ।
अगर समीकरण रैखिक नहीं है, तो हमें उन्हें हल करने के पहले रैखिक में परिवर्तित करना पड़ सकता है।

चरों से परिचित करना:

start color #11accd, start text, न, द, ी, end text, end color #11accd की गति को start color #11accd, w, end color #11accd, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction मान लेते हैं।
start color #1fab54, start text, स, ्, थ, ि, र, space, प, ा, न, ी, space, म, े, ं, space, न, ा, व, end text, end color #1fab54 की गति start color #1fab54, b, end color #1fab54, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction मान लेते हैं।
जब नाव धारा-प्रतिकूल जाती है जिसका मतलब पानी के बहाव के विरुद्ध जाती है।
start text, ग, त, ि, end text, start subscript, start text, व, ि, र, ु, द, ्, ध, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #1fab54, b, end color #1fab54, minus, start color #11accd, w, end color #11accd, right parenthesis, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction
जब नाव धारा-अनुकूल जाती है जिसका मतलब पानी के बहाव के साथ जाती है।
start text, ग, त, ि, end text, start subscript, start text, स, ा, थ, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #11accd, w, end color #11accd, right parenthesis, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction

पहला समीकरण बनाना:

चलिए पहली परिस्थिति को देखते हैं।
नाव 10 घंटे में 30, start text, k, m, end text धारा-प्रतिकूल और 44, start text, k, m, end text धारा-अनुकूल जाती है।
हम गति, दूरी और समय के संबंध का प्रयोग कर सकते हैं।
start text, स, म, य, end text, equals, start fraction, start text, द, ू, र, ी, end text, divided by, start text, ग, त, ि, end text, end fraction
जब नाव धारा-प्रतिकूल जाती है,
समयविरुद्ध=दूरीविरुद्गतिविरुद्धसमयविरुद्ध=30b−w घंटे\begin{aligned} \text{समय}_{\text{विरुद्ध}} &= \dfrac{\text{दूरी}_{\text{विरुद्}}}{\text{गति}_{\text{विरुद्ध}}}\\\\ \text{समय}_{\text{विरुद्ध}} &= \dfrac{30}{\greenD{b}-\blueD{w}} \,\text{घंटे} \end{aligned}
जब नाव धारा -अनुकूल जाती है,
समयसाथ=दूरीसाथगतिसाथसमयसाथ=44b+w घंटे\begin{aligned} \text{समय}_{\text{साथ}} &= \dfrac{\text{दूरी}_{\text{साथ}}}{\text{गति}_{\text{साथ}}}\\\\ \text{समय}_{\text{साथ}} &= \dfrac{44}{\greenD{b}+\blueD{w}} \,\text{घंटे} \end{aligned}
मगर नाव को कुल 10 घंटे का समय लगता है।
समयविरुद्ध+समयसाथ=1030b−w+44b+w=10\begin{aligned} \text{समय}_{\text{विरुद्ध}} + \text{समय}_{\text{साथ}} &= 10\\\\ \dfrac{30}{\greenD{b}-\blueD{w}}+ \dfrac{44} {\greenD{b}+\blueD{w}} &= 10 \end{aligned}
दूसरी परिस्थिति का प्रयोग करके एक अन्य समीकरण बनाने की कोशिश करते हैं।

दूसरा समीकरण बनाना:

चलिए दूसरी परिस्थिति को देखते हैं।
नाव 13 घंटे में 40, start text, k, m, end text धारा-प्रतिकूल और 55, start text, k, m, end text धारा-अनुकूल जाती है।
जब नाव धारा-प्रतिकूल जाती है,
समयविरुद्ध=दूरीविरुद्धगतिविरुद्धसमयविरुद्ध=40b−w घंटे\begin{aligned} \text{समय}_{\text{विरुद्ध}} &= \dfrac{\text{दूरी}_{\text{विरुद्ध}}}{\text{गति}_{\text{विरुद्ध}}}\\\\ \text{समय}_{\text{विरुद्ध}} &= \dfrac{40}{\greenD{b}-\blueD{w}} \,\text{घंटे} \end{aligned}
जब नाव धारा -अनुकूल जाती है,
समयसाथ=दूरीसाथगतिसाथसमयसाथ=55b+w घंटे\begin{aligned} \text{समय}_{\text{साथ}} &= \dfrac{\text{दूरी}_{\text{साथ}}}{\text{गति}_{\text{साथ}}}\\\\ \text{समय}_{\text{साथ}} &= \dfrac{55}{\greenD{b}+\blueD{w}} \,\text{घंटे} \end{aligned}
मगर नाव को कुल 13 घंटे का समय लगता है।
समयविरुद्ध+समयसाथ=1340b−w+55b+w=13\begin{aligned} \text{समय}_{\text{विरुद्ध}} + \text{समय}_{\text{साथ}} &= 13\\\\ \dfrac{40}{\greenD{b}-\blueD{w}}+ \dfrac{55} {\greenD{b}+\blueD{w}} &= 13 \end{aligned}
अब क्योंकि हमारे पास दोनों समीकरण है , चलिए इन्हें हल करने की कोशिश करते हैं।

रैखिक रूप में परिवर्तन करना:

हमारे समीकरण रैखिक नहीं हैं। हमारे चर अभी हर में मौजूद हैं।
हमारा हमारी किस्मत अच्छी है कि start fraction, 1, divided by, start color #1fab54, b, end color #1fab54, minus, start color #11accd, w, end color #11accd, end fraction और start fraction, 1, divided by, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #11accd, w, end color #11accd, end fraction पद दोनों समीकरणों में मौजूद हैं।
30b−w+44b+w=1040b−w+55b+w=13\begin{aligned} \dfrac{30}{\greenD{b}-\blueD{w}}+ \dfrac{44} {\greenD{b}+\blueD{w}} &= 10\\\\ \dfrac{40}{\greenD{b}-\blueD{w}}+ \dfrac{55} {\greenD{b}+\blueD{w}} &= 13 \end{aligned}
अगर हम start fraction, 1, divided by, start color #1fab54, b, end color #1fab54, minus, start color #11accd, w, end color #11accd, end fraction को start color #ca337c, x, end color #ca337c और start fraction, 1, divided by, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #11accd, w, end color #11accd, end fraction को start color #aa87ff, y, end color #aa87ff से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम चरों को हर से हटा सकते हैं।
30x+44y=1040x+55y=13\begin{aligned} 30\maroonD{x} + 44\purpleC{y} &= 10\\\\ 40\maroonD{x} + 55\purpleC{y}&= 13 \end{aligned}
अब हम कुछ सही कर रहे हैं! आखिरकार हमारे पास दो चरों वाले दो रैखिक समीकरण हैं।
इसके आगे हम या तो प्रतिस्थापन विधि या फिर विलोपन विधि का प्रयोग करके आगे बढ़ सकते हैं।

नए चरों के लिए रैखिक समीकरणों को हल करना:

30x+44y=1040x+55y=13\begin{aligned} 30\maroonD{x} + 44\purpleC{y} &= 10\\\\ 40\maroonD{x} + 55\purpleC{y}&= 13 \end{aligned}
अगर हम पहले समीकरण का 4 से गुणन और दूसरे समीकरण का 3 से गुणन करें और पहले को दूसरे से घटाएँ तो हम start color #ca337c, x, end color #ca337c को विलोपित कर सकते हैं।
4×(30x+44y=10)3×(40x+55y=13)\begin{aligned} 4\times(30\maroonD{x} + 44\purpleC{y} &= 10)\\\\ 3\times(40\maroonD{x} + 55\purpleC{y}&= 13) \end{aligned}
यह हमें देगा,
120x+176y=40120x+165y=39\begin{aligned} 120\maroonD{x} + 176\purpleC{y} &= 40\\\\ 120\maroonD{x} + 165\purpleC{y}&= 39 \end{aligned}
दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर,
120x+176y=40−(120x+165y=39)11y=1y=111\begin{aligned} 120\maroonD{x} + 176\purpleC{y} &= 40\\\\ -(120\maroonD{x} + 165\purpleC{y}&= 39)\\\\ 11\purpleC{y}&=1\\\\ \purpleC{y}&=\dfrac{1}{11} \end{aligned}
पहले समीकरण में start color #aa87ff, y, end color #aa87ff के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
30x+44×111=1030x+4=1030x=6x=630x=15\begin{aligned} 30\maroonD{x} + 44\times\purpleC{\dfrac{1}{11}} &= 10\\\\ 30\maroonD{x} + 4 &= 10\\\\ 30\maroonD{x} &=6\\\\ \maroonD{x} &=\dfrac{6}{30}\\\\ \maroonD{x} &=\dfrac{1}{5} \end{aligned}
अब क्योंकि हमारे पास start color #ca337c, x, end color #ca337c और start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, हम start color #1fab54, b, end color #1fab54 और start color #11accd, w, end color #11accd ज्ञात कर सकते हैं।

प्रारंभिक चरों के लिए हल करना:

इन समीकरणों में start color #ca337c, x, end color #ca337c और start color #aa87ff, y, end color #aa87ff के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
1b−w=x=151b+w=y=111\begin{aligned} \dfrac{1} {\greenD{b}-\blueD{w}} &= \maroonD{x} = \dfrac{1}{5}\\\\ \dfrac{1} {\greenD{b}+\blueD{w}} &= \purpleC{y} = \dfrac{1}{11} \end{aligned}
इसका मतलब है:
b−w=5b+w=11\begin{aligned} \greenD{b}-\blueD{w} &= 5\\\\ \greenD{b}+\blueD{w} &= 11 \end{aligned}
दोनों समीकरणों का योग करने पर:
2×b=5+112×b=16b=8\begin{aligned} 2\times\greenD{b} &= 5+11\\\\ 2\times\greenD{b}&= 16\\\\ \greenD{b} &= 8 \end{aligned}
start color #1fab54, b, end color #1fab54 के मान को पुनः प्रतिस्थापित करना:
b−w=58−w=5w=3\begin{aligned} \greenD{b}-\blueD{w} &= 5\\\\ 8 -\blueD{w} &= 5\\\\ \blueD{w} &= 3 \end{aligned}
इसलिए, start color #1fab54, b, end color #1fab54 या start color #1fab54, start text, स, ्, थ, ि, र, space, प, ा, न, े, space, म, े, ं, space, न, ा, व, end text, end color #1fab54 की गति 8, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction है।
और start color #11accd, w, end color #11accd या start color #11accd, start text, न, द, ी, end text, end color #11accd की गति 3, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, r, end text, end fraction है।

सारांश:

रैखिक रूप में सरलीकृत होने वाले समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए:
  • वह व्यंजक ढूँढें जो दोनों समीकरणों में मौजूद है। उन्हें एक सरल रूप दें: x और y मान लेते हैं।
  • नए चरों के लिए नए रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करें।
  • नए चरों के मानों को पुनः प्रतिस्थापित करें और प्रारंभिक चरों के लिए हल करें।
  • ख़ुशी मनाएँ।

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