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कोर्स: उत्तर प्रदेश कक्षा 12 भौतिकी > यूनिट 1

लेसन 6: संतत आवेश वितरण (Continuous charge distribution)

रैखिक आवेश (Line of charge)

आइए रैखिक आवेश के गुणों को जानें!

कार्यान्वित उदाहरण: रैखिक आवेश (Line charge) के निकट विद्युत क्षेत्र

हम रैखिक आवेश के निकट विद्युत क्षेत्र के लिए एक व्यंजक प्राप्त करेंगे।

परिणाम से हम देख सकेंगे कि रैखिक आवेश के आसपास विद्युत क्षेत्र

1 / a

की दर से गिरता है, जहां

a

रेखा से दूरी है।

मान लें कि हमारे पास

L

लंबाई की एक लंबी रेखा है, जिसका कुल आवेश

Q

है। मान लें कि आवेश रेखा पर समान रूप से वितरित है। रेखा पर कुल आवेश

Q

है, इसलिए कूलॉम/मीटर में आवेश घनत्व (charge density) होगा:

μ = \frac{Q}{L}

मान लें कि एक परीक्षण आवेश

q

रेखा के केंद्र के सम्मुख,

a

की दूरी पर स्थित है।

रैखिक आवेश के कारण $q$ ‍ के स्थान पर विद्युत क्षेत्र क्या है?

इस व्युत्पत्ति (derivation) से किसी भी लंबाई

L

और किसी भी दूरी

a

के लिए विद्युत क्षेत्र का एक व्यापक हल (general solution) प्राप्त होगा। इस व्यापक हल का उपयोग करके हम एक विशेष रूप से उपयोगी स्थिति के लिए हल ज्ञात करेंगे जिसमें परीक्षण आवेश की दूरी के सापेक्ष रेखा बहुत लंबी है (

L ≫ a

)।

सबसे पहले आइये कुछ चरों (variables) को परिभाषित करें और उन्हें नाम दें।

$a$ ‍ रेखा से परीक्षण आवेश $q$ ‍ की स्थिति तक की दूरी है।
$d Q$ ‍ रेखा के एक छोटे से भाग, $d x$ ‍ में निहित आवेश की एक छोटी सी मात्रा है।
$x$ ‍, $a$ ‍ के रेखा को स्पर्श करने वाले बिन्दु से $d Q$ ‍ के बीच की दूरी है।
$r$ ‍, $d Q$ ‍ से परीक्षण आवेश की स्थिति तक की दूरी है।
$θ$ ‍, $a$ ‍ और $r$ ‍ के बीच का कोण है।

किसी बिंदु आवेश (point charge),

Q

के आसपास का विद्युत क्षेत्र होता है:

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

रेखा पर आवेश के एक छोटे से हिस्से,

d Q

के कारण परीक्षण आवेश

q

के स्थान पर विद्युत क्षेत्र होगा:

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{r^{2}}

आवेश

d Q

की मात्रा को आवेश घनत्व के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

d Q = μ d x

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d x}{r^{2}}

इस समस्या के लिए सबसे उपयुक्त स्वतंत्र चर, कोण

θ

है। रेखा के साथ

d x

को परिवर्तित करने के बजाय कोण

d θ

के विभिन्न मानों का प्रयोग करने के लिए समीकरण को पुन: व्यवस्थित करके विश्लेषण को सरल बनाया गया है (यह चर परिवर्तन है)।

यहां हमारा लक्ष्य

d x

के पदों में

d θ

के लिए एक व्यंजक ज्ञात करना है। फिर हम इसे विद्युत क्षेत्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।

Cosine (कोज्या), Secant और स्पर्शरेखा (tangent) की परिभाषाओं से प्राप्त कुछ उपयोगी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं,

\cos θ = \frac{a}{r} r = a \frac{1}{\cos θ} = a \sec θ r^{2} = a^{2} \sec^{2} θ

\tan θ = \frac{x}{a} x = a \tan θ

हमारा लक्ष्य

d x

को

d θ

के किसी रूप से बदलना है, इसलिए स्पर्शरेखा सर्वसमिका के आधार पर

θ

के सापेक्ष

x

का अवकलज (derivative) लें ।

\frac{d x}{d θ} = a \frac{d}{d θ} \tan θ

\frac{d x}{d θ} = a \sec^{2} θ

d x = a \sec^{2} θ d θ

अंततः,

\frac{d x}{r^{2}}

, की गणना करें।

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{a \sec^{2} θ d θ}{a^{2} \sec^{2} θ}

d θ

और

a

के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए निरस्तीकरण करें। हम इस व्यंजक से

d x

और

r

को प्रतिस्थापित कर सकते हैं,

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{d θ}{a}

अब हम अपनी मूल समस्या की ओर चलते हैं और चर परिवर्तन का प्रयोग करते हैं।

चर परिवर्तन के बाद, हम

d θ

के संदर्भ में आरेख को फिर से चित्रित कर सकते हैं,

चर परिवर्तन से हम पिछले समीकरण में

\frac{d x}{r^{2}}

के स्थान पर

\frac{d θ}{a}

को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d θ}{a}

अब हम केवल

y

दिशा (

q

से होकर जाने वाली सीधी रेखा के अनुदिश) में विद्युत क्षेत्र ज्ञात करके आवेश व्यवस्था की समरूपता का फायदा उठा सकते हैं।

इसका मतलब है कि हम विद्युत क्षेत्र

d E

को कोण

θ

की कोज्या (Cosine) से कम कर रहे हैं।

d E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

अब हम विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए प्रत्येक

d Q

के योगदानों का समाकलन करने(जोड़ने) के लिए तैयार हैं।

E_{y} = \int_{- θ}^{+ θ} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

यह रेखा की किसी भी लंबाई,

L

के निकट रेखा से

a

दूरी पर विद्युत क्षेत्र के लिए व्यापक हल है। सीमाएँ

\pm θ

रेखा के दोनों छोरों के कोण हैं।

उपयोगी स्थिति: लंबा रैखिक आवेश

अब हम उस उपयोगी स्थिति के लिए इस समस्या को हल करते हैं जहां रैखिक आवेश,

a

, के सापेक्ष बहुत लंबा है या कहें

L ≫ a

। यदि आप

q

पर खड़े होते हैं और इस बहुत लंबी रेखा के प्रत्येक छोर की ओर किसी भी दिशा में देखने के लिए अपना सिर घुमाते हैं, तो आपका सिर (लगभग)

\pm 90^{\circ}

(

\pm π / 2

radians) घूमता है। ये कोण हमारे समाकलन (integration) की सीमा बन जाते हैं।

E_{y} = \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

ऐसी किसी भी चीज़ को समाकलन के बाहर ले जाएँ जो

θ

पर निर्भर नहीं है।

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \cos θ d θ

समाकलन का मूल्यांकन करें।

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \sin θ |_{- π / 2}^{+ π / 2} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} (+ 1 - - 1) = \frac{2}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a}

अंततः, एक लंबे रैखिक आवेश के द्वारा रेखा से

a

दूर स्थित एक बिंदु पर आरोपित विद्युत क्षेत्र है:

E_{y} = \frac{μ}{2 π ϵ_{0}} \frac{1}{a}

शाबाश, अगर आप यहाँ तक समझ पाए! इस अभ्यास से निकालने वाला महत्वपूर्ण निष्कर्ष है: एक बिंदु आवेश के लिए

1 / r^{2}

के विपरीत, रैखिक आवेश केआसपास का क्षेत्र

1 / a

के समानुपाती होता है।

इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए हमने काफी गणित लगायी। इस हल के साथ कुछ समय और बिताएं ताकि आप इसे भलीभाँति समझ सकें। अब जब आपने गणित समझ लिया है, तो क्या आपको यह सहज रूप से समझ आता है कि बिंदु आवेश (

1 / r^{2}

) की तुलना में यहाँ दूरी का घातांक अलग (

1 / a

) है?

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